DorFuchs - Komplexe Zahlen songtext (lyrics)
[DorFuchs - Komplexe Zahlen songtext lyrics]
Vielleicht kennst du die reellen Zahlen
– die sind ja beliebt so wie 2 oder −1
3 oder Pi aber was es bei reellen
Zahlen leider nicht gibt
Ist eine Zahl, die quadriert −1 ergibt
Doch bevor man so 'ne Gleichung
Einfach gar nicht lösen kann
Fangen wir an, mit dem
Was man in Mathematik jederzeit kann:
Wir definieren einfach was und
Diese immerwährende Freiheit
Nutzen wir und sagen: Es gibt
Jetzt eine imaginäre Einheit i und i² ist −1
Und vielleicht fragst du dich: Bitte
Wo soll das denn sein?
Auf dem Zahlenstrahl ist doch gar
Kein Platz mehr für i!
Ja, ich weiß weil i nämlich außerhalb liegt
Aber nicht einzeln isoliert
Denn wir müssen nicht nur i
Sondern zum Rechnen auch noch Vielfache
Von i mit definieren
Und wenn man mit reellen Zahlen
Jeweils addieren können soll
Steht hier die Menge der komplexen
Zahlen ist doch toll!
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
OK bisher hat man nur eine Menge, aber dann
Ist ja das Schöne daran
Dass man hier auch rechnen kann
Die Addition ist dabei jeweils so definiert
Dass man die Real- und
Imaginärteile jeweils addiert
Okay und jetzt muss man sich mal überlegen:
Was sollte denn die
Multiplikation hier ergeben?
Nun ja: Wenn man hier
Wie gewohnt ausmultipliziert
Wird im letzten Summanden ja das i quadriert
Aber das soll -1 sein und so sieht man ein:
Die Multiplikation muss genau so hier sein
Doch was ist
Wenn man mit komplexen Zahlen dividiert?
Nun: Da wird der Nenner
Erst komplex konjugiert
Das heißt: Beim Imaginärteil wird
Das Vorzeichen gedreht
Und wird der Bruch dann damit erweitert
Dann steht letzten Endes nur eine reelle
Zahl im Nenner da und somit ist die Division
Jetzt auch noch klar
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
Aber leider kann man komplexe
Zahlen nicht vergleichen!
Doch um sowas wie die "Größe" anzugeben
Kann es manchmal reichen
Den Betrag zu nehmen und das ist
Die Entfernung bis zur Null und diese misst
Man im rechtwinkligen Dreieck mit
Real- und Imaginärteilen
Als Wurzel aus der Summe
Der Quadrate der beiden
Und genau so ist der Betrag
Definiert und ich seh gleich:
Alle Zahlen mit dem gleichen Betrag
Liegen auf einem Kreis
Und dessen Radius ist der Betrag
Und wenn ich dazu auch noch den Winkel hab
Der sich dann hier mit der
Achse des Realteils ergibt
Dann weiß ich ja genau
Wo die Zahl dann liegt
Und genau diese beiden Angaben
Von Radius und Winkel
Sind die Polarkoordinaten
Wo der Radius streckt und der Winkel rotiert
Soweit alles gecheckt und im Kopf notiert?
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
Und übrigens kann man auch
Vieles bildlich sehen
Die Addition kann man zum
Beispiel als Verschiebung verstehen
Oder die Zahlen so wie Vektoren im R² bequem
Hier als Pfeile aneinander setzen
– würde auch gehen
Und die Multiplikation ist dann
Auch ganz nett:
Man fixiert die 0 und schiebt die 1 aufs z
Und in Polarkoordinaten sieht man
Was hier passiert:
Beim Radius wird multipliziert
Aber bei beim Winkel: Addiert!
Hier wird aus "Mal" quasi "Plus" gemacht
Genau das, was die Exponentialfunktion macht
Setzt man i mal phi nämlich in diese ein
Wird das mit Betrag 1 genau
Der Winkel phi sein
Und mit dem Radius skaliert können
Wir die Polarform angeben
Und zum Schluss würde ich jetzt e
Hoch i mal Pi noch nehmen
Denn Pi ist ein voller
Winkel und deswegen steht
Man hier bei −1 die Eulersche Identität
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
– die sind ja beliebt so wie 2 oder −1
3 oder Pi aber was es bei reellen
Zahlen leider nicht gibt
Ist eine Zahl, die quadriert −1 ergibt
Doch bevor man so 'ne Gleichung
Einfach gar nicht lösen kann
Fangen wir an, mit dem
Was man in Mathematik jederzeit kann:
Wir definieren einfach was und
Diese immerwährende Freiheit
Nutzen wir und sagen: Es gibt
Jetzt eine imaginäre Einheit i und i² ist −1
Und vielleicht fragst du dich: Bitte
Wo soll das denn sein?
Auf dem Zahlenstrahl ist doch gar
Kein Platz mehr für i!
Ja, ich weiß weil i nämlich außerhalb liegt
Aber nicht einzeln isoliert
Denn wir müssen nicht nur i
Sondern zum Rechnen auch noch Vielfache
Von i mit definieren
Und wenn man mit reellen Zahlen
Jeweils addieren können soll
Steht hier die Menge der komplexen
Zahlen ist doch toll!
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
OK bisher hat man nur eine Menge, aber dann
Ist ja das Schöne daran
Dass man hier auch rechnen kann
Die Addition ist dabei jeweils so definiert
Dass man die Real- und
Imaginärteile jeweils addiert
Okay und jetzt muss man sich mal überlegen:
Was sollte denn die
Multiplikation hier ergeben?
Nun ja: Wenn man hier
Wie gewohnt ausmultipliziert
Wird im letzten Summanden ja das i quadriert
Aber das soll -1 sein und so sieht man ein:
Die Multiplikation muss genau so hier sein
Doch was ist
Wenn man mit komplexen Zahlen dividiert?
Nun: Da wird der Nenner
Erst komplex konjugiert
Das heißt: Beim Imaginärteil wird
Das Vorzeichen gedreht
Und wird der Bruch dann damit erweitert
Dann steht letzten Endes nur eine reelle
Zahl im Nenner da und somit ist die Division
Jetzt auch noch klar
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
Aber leider kann man komplexe
Zahlen nicht vergleichen!
Doch um sowas wie die "Größe" anzugeben
Kann es manchmal reichen
Den Betrag zu nehmen und das ist
Die Entfernung bis zur Null und diese misst
Man im rechtwinkligen Dreieck mit
Real- und Imaginärteilen
Als Wurzel aus der Summe
Der Quadrate der beiden
Und genau so ist der Betrag
Definiert und ich seh gleich:
Alle Zahlen mit dem gleichen Betrag
Liegen auf einem Kreis
Und dessen Radius ist der Betrag
Und wenn ich dazu auch noch den Winkel hab
Der sich dann hier mit der
Achse des Realteils ergibt
Dann weiß ich ja genau
Wo die Zahl dann liegt
Und genau diese beiden Angaben
Von Radius und Winkel
Sind die Polarkoordinaten
Wo der Radius streckt und der Winkel rotiert
Soweit alles gecheckt und im Kopf notiert?
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
Und übrigens kann man auch
Vieles bildlich sehen
Die Addition kann man zum
Beispiel als Verschiebung verstehen
Oder die Zahlen so wie Vektoren im R² bequem
Hier als Pfeile aneinander setzen
– würde auch gehen
Und die Multiplikation ist dann
Auch ganz nett:
Man fixiert die 0 und schiebt die 1 aufs z
Und in Polarkoordinaten sieht man
Was hier passiert:
Beim Radius wird multipliziert
Aber bei beim Winkel: Addiert!
Hier wird aus "Mal" quasi "Plus" gemacht
Genau das, was die Exponentialfunktion macht
Setzt man i mal phi nämlich in diese ein
Wird das mit Betrag 1 genau
Der Winkel phi sein
Und mit dem Radius skaliert können
Wir die Polarform angeben
Und zum Schluss würde ich jetzt e
Hoch i mal Pi noch nehmen
Denn Pi ist ein voller
Winkel und deswegen steht
Man hier bei −1 die Eulersche Identität
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus
Ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil
Haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun