DorFuchs - Kombinatorik songtext (lyrics)

Hier geht es jetzt um Kombinatorik
Oder genauer gesagt
Darum, wie viele Möglichkeiten
Man insgesamt hat
Wenn man k mal aus n Elementen wählt
Doch bevor man sich gleich
Mit der Allgemeinheit quält
Machen wir das mal
Zumindest halbwegs alltagsrelevant
Am Beispiel Fahrradzahlenschloss -
Wahrscheinlich jedem bekannt
Hier kann man 5 Stellen verdrehen
Und wir fragen uns nun:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, dies zu tun?
Nun: Wie viele Möglichkeiten gibt es
Für die erste Stelle? Zehn
Und für die zweite Stelle? Zehn
Und für die dritte Stelle? Zehn
Und für die vierte? Na Zehn
Und für die fünfte ebenfalls Zehn
Das macht insgesamt 10 mal 10 mal


10 mal 10 mal 10 also 10 hoch 5
Gleich Hunderttausend und man kann sehn':
Kann man an k Stellen allgemein
Aus n Optionen wählen
Wird man n hoch k Möglichkeiten dafür zählen
Soweit alles verstanden? … OK

Nächstes Beispiel: 8 Läufer beim 100-m-Sprint
Die Frage ist jetzt nicht nur
Wer von denen gewinnt
Sondern wir schauen uns jetzt
Die komplette Reihenfolge an
Und wollen wissen
Auf wie viele Art und Weisen es sein kann
Dass die im Ziel ankommen und
Dadurch ne Reihenfolge entsteht
Das nennt man Permutation und das geht
Ebenfalls nach dem Prinzip
Dass man sich nacheinander fragt
Wie viele Möglichkeiten man an
Jeder Stelle jeweils hat:

Als erster Platz kommt einer der 8 Läufer an
Doch weil der ja nicht
Gleichzeitig Zweiter werden kann
Gibt es erstmal nur noch 7 Optionen, wobei
Es danach 6 gibt, dann 5, 4, 3 und dann 2
Und für den letzten Platz bleibt
Dann nur noch eine Option
Macht also 8 Fakultät und
Bei einer Permutation
Von genau n Elementen wird das n Fakultät
Doch was ist eigentlich
Wenn es uns nur darum geht
Wie viele Möglichkeiten man für
Die Medaillen Plätze hat?
Das geht eigentlich genauso, wie bisher
Doch anstatt
Das bis zum letzten Platz zu machen
Geht man nur bis Platz 3
Also 8 mal 7 mal 6 ist hier die Antwort
Wobei das allgemein auch geht
Wenn ich k mal aus n Kugeln ziehe
Für die erste Kugel gibt’s
Dann erstmal n viele
Möglichkeiten und für jede weitere
Kugel eine weniger
Und das Ganze k mal und jetzt steht hier ja
Im Wesentlichen so etwas wie n Fakultät
Nur dass nach den ersten k
Faktoren dann der Rest fehlt
Doch dividiert man nun mit n minus k Fakultät
Ist der Rest, der hier steht, genau das
Worum’s geht

Okay unser letztes Beispiel soll
Jetzt Lotto sein:
Da kreuzt man hier 6 Zahlen
An auf dem Lottoschein und die Frage
Die man sicherlich schon kommen sieht
Ist wie viele Kombinationen es hier gibt

Beim ersten Kreuz kann ich
Aus 49 Zahlen wählen
Und nachdem ich das gemacht hab
Nur noch aus 48 wählen
Und dann 47, 46, 45, 44
Sieht bisher aus, wie beim 100m-Lauf
Doch wird sich dadurch unterscheiden
Dass es nicht darum geht
In welcher Reihenfolge wann
Welches Kreuz entsteht
Und für jeweils 6 Zahlen gibt’s
Ja immer 6 Fakultät
Permutationen, bei denen der
Gleiche Lottoschein entsteht
Doch da es uns ja hier
Nur um verschiedene Lottoscheine geht
Dividieren wir das Ganze jetzt mit 6 Fakultät
Und kommen dadurch insgesamt
Auf Dreizehn Millionen
Neunhundert Dreiundachtzig Tausend
Achthundert sechzehn Kombinationen
Also, dass man 6 Richtige trifft
Ist zwar möglich
Aber wahrscheinlich ist das nicht
Und jetzt wird noch allgemein
Die Formel bestimmt
Wenn man aus n Elementen genau k heraus nimmt

Und wir wissen schon: Wenn es
Da um die Reihenfolge geht
Ist das n Fakultät durch n minus k Fakultät
Doch ist die Reihenfolge egal
Kann man für jede Möglichkeiten mit
Ihren k Fakultät Permutationen dividieren
Und diese Formel braucht man immer
Wieder und man nennt das hier auch n über
K - den Binomialkoeffizient
Und ich würd sagen
Wenn man bis hier alles versteht
Sind für die Kombinatorik jetzt
Gute Grundlagen gelegt