DorFuchs - Kugel: Volumen und Oberfläche songtext (lyrics)

Ich hab die Formel fürs
Volumen einer Kugel dabei:
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Für den Oberflächeninhalt hab ich
Auch was parat 4 Pi mal r Quadrat

Wir schneiden mal ne Halbkugel in
Einer bestimmten Höhe auf
Und da kommt dann natürlich ein Kreis heraus
Und dessen Radius nennen wir mal a
Und mit dem Radius der Kugel und der Höhe h
Ist das ein rechtwinkliges Dreieck und
Es gilt nach Pythagoras
A Quadrat ist r Quadrat minus h
Quadrat so ein Spaß: D
Und das merken wir uns mal
Denn wir brauchen das bald
Denn Pi mal a Quadrat
Ist doch der Flächeininhalt
Von dem Kreis und jetzt setzen
Wir die Formel dort ein


Multiplizieren aus und jetzt leuchtet
Es doch ein dass wir hier jeweils Pi mal
Irgendetwas ins Quadrat haben
Also könnte man auch grad sagen
Das wären zwei Kreise und man
Nimmt den einen weg
Da kommt ein Kreisring raus
Also haben wir entdeckt
Da das in jeder Ebene geht
Dass dann ein Körper entsteht
Und der sieht aus wie ein Zylinder
Wo ein Kreiskegel fehlt

Mit diesem Ding
Was wir uns grade konstruiert haben
Machen wir wir jetzt weiter und
Da würde ich mal sagen:
Das Volumen vom Zylinder ist
Grundfläche mal Höhe
Und vom Kegel ein Drittel
Mal Grundfläche mal Höhe
Die Grundfläche ist beides mal ein Kreis
- Pi mal r Quadrat
Und die Höhe immer r da merk ich grad:
Pi mal r Quadrat mal r ist Pi mal r hoch drei
Minus ein Drittel davon da sind wir bei

Zwei Drittel Pi mal r hoch drei oK
Doch da die Schnittfläche in
Jeder Ebene gleich ist, seh
Ich nach dem Prinzip von Cavalieri:
Die Volumina sind gleich
Aha doch da ich ja das eine bereit's weiß
Hat die Halbkugel demnach
Den gleichen Rauminhalt
Zwei Drittel Pi mal r hoch drei
Und jetzt schau ich halt
Mal auf die ganze Kugel, was ja Doppelte ist
Also vier Drittel Pi mal r hoch drei yES!

Ich hab die Formel fürs
Volumen einer Kugel dabei:
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Für den Oberflächeninhalt hab ich
Auch was parat 4 Pi mal r Quadrat

Stell dir die Kugel mal als unendlich viele
Infinitesimale Pyramiden vor
Die Spitzen in der Mitte
Die Grundflächen außen
Und da das Pyramiden sind, weißt du sofort:
Das Volumen ist ein Drittel mal
Die Grundfläche mal r
Denn der Kugelradius ist hier
Die Höhe und daher
Gilt das in jeder Pyramide
Und es wird insgesamt
Da die Grundflächen die Kugeloberfläche sind
Interessant

Denn da kommt was für die ganze Kugel her:
Das Volumen ist ein Drittel
Mal Oberfläche mal r
Doch es ist ja auch vier Drittel
Pi mal r hoch drei klar
Also steht die Gleichung mit
Nur einer Unbekannten da das stelln wir um
Indem wir erst mit 3 multiplizieren
Und schon sehen wir
Wenn wir noch kurz mit r dividieren:
4 Pi mal r Quadrat ist der Oberflächeninhalt
Lange Rede
Kurzer Sinn: Die Formel stimmt halt

Ich hab die Formel fürs
Volumen einer Kugel dabei:
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Für den Oberflächeninhalt hab ich
Auch was parat 4 Pi mal r Quadrat