DorFuchs - Geometrische Reihe songtext (lyrics)

Nimm dir mal Eins plus ein Halb
Plus ein Viertel plus ein Achtel
Plus ein Sechszehntel man merkt
Wenn man das immer weiter macht schnell
Dass das niemals endet und genau
Das ist das Dumme: Woher weiß ich denn
Was rauskommt bei 'ner unendlichen Summe?
Nun, vielleicht hilft es
Wenn wir das visualisieren
Und da könnte man es ja
Mit einem Kuchen probieren
Nimmt man einen und 'nen halben und
Ein Viertel und ein Achtel
Dann sieht man, wenn man das macht, schnell:
Man erreicht zwar nie die 2
Doch kommt immer näher ran
Weshalb man sich die 2 einfach
Als Grenzwert nehmen kann und man sagt dann
Diese Reihe konvergiert gegen 2
Und deshalb ist die unendliche Summe genau 2
Und schau mal: die Summanden sind


Potenzen von ein Halb
Nimmt man sich einfach mal ein
X statt ein Halb dann sieht man
Dass x hoch i die Summanden darstellt
Wobei die Summe i von
0 bis unendlich hochzählt
Und das Ding nennt man
Jetzt die geometrische Reihe
Und pass mal auf, was ich dir jetzt zeige
Denn jetzt geht es darum
Ob diese Reihe konvergiert
Und es gilt garantiert:
Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x
Kleiner als 1 ist
Ansonsten konvergiert da nichts

Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x
Kleiner als 1 ist
Ansonsten konvergiert da nichts

Bevor wie sehen
Wogegen die Summe mit unendlich konvergiert
Schauen wir, was passiert
Wenn man nur bis n addiert
Und diese Summe dann mit
1 minus x multipliziert
Denn, wenn man insgesamt
Jetzt ausmultipliziert
Steht da einmal das Ding minus x mal das Ding
Und jetzt schauen wir hier
Hinten mal genauer hin
Hier steht x mit Exponenten von 0 an bis n
Wobei ich durch den Vorfaktor x ja erkenn:
Der Exponent erhöht sich hier um 1 jedesmal
Schreibt man sich das mit i einfach
Von 1 an wird klar dass man hier ja fast die
Gleiche Summe wieder subtrahiert
Sodass man alles bis auf das hier verliert
Und jetzt dividiert man mit 1 minus x
Und ab hier geht es relativ fix
Denn für Betrag von x kleiner als
1 steht hier ne Nullfolge
Und es gilt demzufolge:
Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x
Kleiner als 1 ist
Ansonsten konvergiert da nichts

Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x
Kleiner als 1 ist
Ansonsten konvergiert da nichts

Ist der Betrag von x größer gleich 1
Dann siehst du für die Folge
X hoch i sicher ein
Dass die für i gegen unendlich
Nicht gegen 0 konvergiert
Weshalb dann nämlich diese Reihe
Hier nicht konvergiert