DorFuchs - Pi ist irrational songtext (lyrics)
[DorFuchs - Pi ist irrational songtext lyrics]
3, 141592 und so weiter
3, 14 und so weiter ist eine Zahl
Namens Pi und Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen
Bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist
Nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung
Und Integral und
Dann zeigen wir: Pi ist irrational
Nehmen wir mal das Gegenteil an:
Dass man Pi vielleicht ja doch als
Bruch natürlicher Zahlen schreiben kann
Wie a geteilt durch b und mal seh'n
Wie's weiter geht:
Wie wär's mit Pi hoch n mal
A hoch n durch n Fakultät?
Hm da wächst der Nenner durch die Fakultät
Sogar schneller als der Zähler und
Für große n geht
Es, dass der ganze Bruch dann kleiner
Wird als 1 durch Pi
Und so wählen wir uns das
N und jetzt definiert
Man f (x) als x hoch n mal a minus bx hoch n
Durch die Fakultät von n und
Jetzt können wir erkennen:
Zwischen 0 und Pi ist f und
Auch der Sinus jeweils positiv
Also ist auch das Produkt wieder positiv
Und x ist kleiner als Pi
A-bx ist kleiner als a
Der Sinus ist kleiner gleich 1 und dann
Steht auch noch n Fakultät da
Und das Ganze haben wir kleiner
Als 1 durch Pi konstruiert
Was sich als gut erweist
Wenn man Sinus mal f integriert
Denn dieses Integral ist kleiner als
Das mit 1 durch Pi aber das ist genau 1
Wie man relativ leicht sieht
Und das Produkt ist größer 0
Und damit auch das Integral
Aber was uns das jetzt bringt? Naja
Schau'n wir mal
3, 14 und so weiter ist eine Zahl
Namens Pi und Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen
Bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist
Nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung
Und Integral und
Dann zeigen wir: Pi ist irrational
Sieht man sich das f genau an
Dann sieht man, dass man das hoch n
Hier ausmultiplizieren kann
Und das wird 'ne Summe
Bei deren Summanden ich erkenn':
Das sind ganze Zahlen mal x
Mit Exponent bis zu n
Und nehm ich das mal x hoch n
Kann ich weiter erkenn':
Die Exponenten laufen jetzt von n
An bis zu 2n
Und da die Fakultät konstant ist
Und ich sonst alles addiere
Kann ich auf jeden Summanden einzeln seh'n
Wenn ich diferenziere
Und mit jeder Ableitung kommt der
Exponent als Faktor davor
Und wird dann um 1 kleiner
Und jetzt stell' dir vor was passiert
Wenn man weniger als n
Mal die Ableitung macht
Dann steht überall noch das x
Und das hat uns gebracht
Dass wenn wir 0 einsetzen
Dann hier 0 raus kommt und die Frage ist
Was bei der n-ten Ableitung raus kommt
Denn da verschwindet dann das x
In dem allerersten Term
Doch durch n maliges Ableiten
Kann man sich erklären
Dass hier insgesamt n Fakultät
Als Faktor steht
Was man mit dem Nenner kürzt
Und, wenn ich 0 einsetze, steht
Hier eine ganze Zahl und macht
Man das Ganze mal auch bis zur
(2n) -ten Ableitun
Dann wird ganz schnell klar:
Das sind alles ganze Zahlen und leite
Ich dann noch weiter ab
Ist es so, dass ich echt nur noch 0 hab
Und das Ganze geht genauso auch
An der Stelle Pi denn f ist symmetrisch
Was man relativ leicht sieht
Wenn man in f einfach Pi minus x einsetzt
Und bisschen umfomrt
Denn dann sieht man nämlich jetzt:
Das ist f (x) und daher die Symmetrie
Vielleicht brauchen wir das noch
Man weiß ja nie erstmal schau'n wir
Was mit diesem Integral passiert
Wenn man es direkt lösen
Will und partiell integriert
Man nimmt für eine der
Funktionen eine Stammfunktion
Und bildet das Produkt mit
Der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion mal
Die Ableitung der anderen Funktion
Und setzt man hier vorn
Die Integralgrenzen ein
Dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
Und nimmt für eine der
Funktionen wieder 'ne Stammfunktion
Und bildet das Produkt mit
Der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion mal
Die Ableitung der anderen Funktion
Und setzt man hier vorn
Die Integralgrenzen ein
Dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
Und so weiter wenn man das (2n+1) mal macht
Dann hat man es durch die
Ableitungen beim f soweit geschafft
Dass nur noch 0 da steht und
Dann fällt der Rest weg
Also hat man dann hier insgesamt entdeckt:
Dieses Integral ist immer eine ganze Zahl
Doch warte mal
Wir hatten dieses Integral schon mal!
Im ersten Teil hatten wir
Doch eindeutig gezeigt:
Dieses Integral liegt zwischen 0 und 1
Aber das kann ja nicht sein und
Da gibt's nur einen Schluss: Die Annahme
Pi wäre rational ist einfach Stuss!
Das führt zu Widersprüchen
Also ist das Gegenteil wahr
Pi ist irrational was zu beweisen war
Joa, alles klar?
3, 14 und so weiter ist eine Zahl
Namens Pi und Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen
Bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist
Nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung
Und Integral und
Dann zeigen wir: Pi ist irrational
3, 14 und so weiter ist eine Zahl
Namens Pi und Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen
Bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist
Nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung
Und Integral und
Dann zeigen wir: Pi ist irrational
Nehmen wir mal das Gegenteil an:
Dass man Pi vielleicht ja doch als
Bruch natürlicher Zahlen schreiben kann
Wie a geteilt durch b und mal seh'n
Wie's weiter geht:
Wie wär's mit Pi hoch n mal
A hoch n durch n Fakultät?
Hm da wächst der Nenner durch die Fakultät
Sogar schneller als der Zähler und
Für große n geht
Es, dass der ganze Bruch dann kleiner
Wird als 1 durch Pi
Und so wählen wir uns das
N und jetzt definiert
Man f (x) als x hoch n mal a minus bx hoch n
Durch die Fakultät von n und
Jetzt können wir erkennen:
Zwischen 0 und Pi ist f und
Auch der Sinus jeweils positiv
Also ist auch das Produkt wieder positiv
Und x ist kleiner als Pi
A-bx ist kleiner als a
Der Sinus ist kleiner gleich 1 und dann
Steht auch noch n Fakultät da
Und das Ganze haben wir kleiner
Als 1 durch Pi konstruiert
Was sich als gut erweist
Wenn man Sinus mal f integriert
Denn dieses Integral ist kleiner als
Das mit 1 durch Pi aber das ist genau 1
Wie man relativ leicht sieht
Und das Produkt ist größer 0
Und damit auch das Integral
Aber was uns das jetzt bringt? Naja
Schau'n wir mal
3, 14 und so weiter ist eine Zahl
Namens Pi und Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen
Bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist
Nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung
Und Integral und
Dann zeigen wir: Pi ist irrational
Sieht man sich das f genau an
Dann sieht man, dass man das hoch n
Hier ausmultiplizieren kann
Und das wird 'ne Summe
Bei deren Summanden ich erkenn':
Das sind ganze Zahlen mal x
Mit Exponent bis zu n
Und nehm ich das mal x hoch n
Kann ich weiter erkenn':
Die Exponenten laufen jetzt von n
An bis zu 2n
Und da die Fakultät konstant ist
Und ich sonst alles addiere
Kann ich auf jeden Summanden einzeln seh'n
Wenn ich diferenziere
Und mit jeder Ableitung kommt der
Exponent als Faktor davor
Und wird dann um 1 kleiner
Und jetzt stell' dir vor was passiert
Wenn man weniger als n
Mal die Ableitung macht
Dann steht überall noch das x
Und das hat uns gebracht
Dass wenn wir 0 einsetzen
Dann hier 0 raus kommt und die Frage ist
Was bei der n-ten Ableitung raus kommt
Denn da verschwindet dann das x
In dem allerersten Term
Doch durch n maliges Ableiten
Kann man sich erklären
Dass hier insgesamt n Fakultät
Als Faktor steht
Was man mit dem Nenner kürzt
Und, wenn ich 0 einsetze, steht
Hier eine ganze Zahl und macht
Man das Ganze mal auch bis zur
(2n) -ten Ableitun
Dann wird ganz schnell klar:
Das sind alles ganze Zahlen und leite
Ich dann noch weiter ab
Ist es so, dass ich echt nur noch 0 hab
Und das Ganze geht genauso auch
An der Stelle Pi denn f ist symmetrisch
Was man relativ leicht sieht
Wenn man in f einfach Pi minus x einsetzt
Und bisschen umfomrt
Denn dann sieht man nämlich jetzt:
Das ist f (x) und daher die Symmetrie
Vielleicht brauchen wir das noch
Man weiß ja nie erstmal schau'n wir
Was mit diesem Integral passiert
Wenn man es direkt lösen
Will und partiell integriert
Man nimmt für eine der
Funktionen eine Stammfunktion
Und bildet das Produkt mit
Der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion mal
Die Ableitung der anderen Funktion
Und setzt man hier vorn
Die Integralgrenzen ein
Dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
Und nimmt für eine der
Funktionen wieder 'ne Stammfunktion
Und bildet das Produkt mit
Der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion mal
Die Ableitung der anderen Funktion
Und setzt man hier vorn
Die Integralgrenzen ein
Dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
Und so weiter wenn man das (2n+1) mal macht
Dann hat man es durch die
Ableitungen beim f soweit geschafft
Dass nur noch 0 da steht und
Dann fällt der Rest weg
Also hat man dann hier insgesamt entdeckt:
Dieses Integral ist immer eine ganze Zahl
Doch warte mal
Wir hatten dieses Integral schon mal!
Im ersten Teil hatten wir
Doch eindeutig gezeigt:
Dieses Integral liegt zwischen 0 und 1
Aber das kann ja nicht sein und
Da gibt's nur einen Schluss: Die Annahme
Pi wäre rational ist einfach Stuss!
Das führt zu Widersprüchen
Also ist das Gegenteil wahr
Pi ist irrational was zu beweisen war
Joa, alles klar?
3, 14 und so weiter ist eine Zahl
Namens Pi und Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen
Bei dieser Zahl, denn Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist
Nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel: Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung
Und Integral und
Dann zeigen wir: Pi ist irrational