DorFuchs - Die Eulersche Zahl ist irrational songtext (lyrics)

Unendlich viele Nachkommastellen hat
Die Eulersche Zahl und, weil sich nichts
Immer wieder wiederholt, ist sie irrational
Einen Beweis dafür hab ich
Natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca 2, 718

Das erste, was zu klären wär
Ist: Was ist eigentlich e?
Und, um das zu verstehen
Brauchen wir die Fakultät
Steht hinter einer Zahl ein Ausrufezeichen
Heißt das Fakultät
Worunter man das Produkt der Zahlen
Von 1 bis n versteht
Zum Beispiel 4! ist 4∙3∙2∙1
Und ich geh mal davon aus
Dass du das verstehst und jetzt weißt
E ist die Summe der Kehrwerte der
Fakultäten von 0 bis unendlich
Und das als Bruch zu schreiben, tut mir leid


Aber das geht nicht
Denn dafür bräuchtest du nen Bruch - zB p q
Mit ner ganzen Zahl als p
Und nem natürlichen q dazu
Bei unserer Summe gehören ja alle
Natürlichen Zahlen dazu -
Von daher finden wir an irgendner
Stelle auch unser q
Und alles bis dahin wird subtrahiert
Und auf beiden Seiten jetzt
Mit q! multipliziert
Da schauen wir doch mal, wie wir weiterkommen
Konzentrieren wir uns erst mal auf
Den Bruch ganz vorn:
P∙q∙ (q-1) ∙ (q-2) und so weiter
Da sehen wir schon: da ist das q dabei, da
Können wir das kürzen und das
Was hier noch steht
Ist, wenn man's kurz macht: p∙ (q-1)!
In den nächsten Schritten
Dividiert man Fakultäten
Und vielleicht denkst du dir: Kann man
Da kürzen? Ja, das geht, denn:
Schreibst du die Fakultäten als Produkte
Kannst du sehen dass die im Zähler und im
Nenner beide bei 1 losgehen
Da die Fakultät im Nenner jeweils kleiner
Ist als die im Zähler
Kürzt sich der ganze Nenner raus
Und letzten Endes steht da
Nur noch ne Differenz von
Produkten ganzer Zahlen da
Und das ist dann ja wieder eine
Ganze Zahl - na klar!
Da hab ich alles, was ich
Für die linke Seite brauch, doch:
Die rechte Seite mache ich
Natürlich auch noch
Unendlich viele Nachkommastellen hat
Die Eulersche Zahl und, weil sich nichts
Immer wieder wiederholt, ist sie irrational
Einen Beweis dafür hab ich
Natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca 2, 718

Hier geht das doch fast
Nach demselben Prinzip weil es im Zähler und
Im Nenner Fakultäten gibt
Nur, dass in diesem Fall der Zähler, also q!
Bei jedem dieser Brüche auch im Nenner steht
Wenn wir das kürzen
Dann bleibt im Zähler immer nur die 1 stehen
Während wir im Nenner jeweils
Ein Produkt sehen
Was 1, dann 2, dann 3 usw faktoren enthält
Bei denen man dann gleich
Ziemlich schnell feststellt
Dass jeder Faktor mindestens 2 ist
Weil hier jedes Mal ja neben q
Noch mal was dabei ist
Das heißt: Setzt du für jeden
Faktor eine 2 ein
Wird der Nenner dieser Brüche
Jeweils kleiner sein
Also vergrößern sich die ganzen
Brüche damit im Nu
Und diese Summe mit den 2en ist
Größer als die mit dem q
Zum Verdeutlichen, was diese Reihe ergibt
Werd ich mal versuchen
Das graphisch darzustellen - und
Zwar mit einem Kuchen
Zum Dienste der Wissenschaft werde ich
Jetzt diesen Kuchen verzehren
Und dabei gleich die Reihe hier erklären
Denn esse ich erst die Hälfte und
Dann gleich ein Viertel hinterher
Dann noch Achtel und ein Sechzehntel
Dann esse ich immer mehr
Aber nach jedem Stück ist der Rest
Den ich noch essen mag
So groß, wie das Stück
Das ich grade gegessen hab
Es kann also das, was noch
Zum ganzen Kuchen fehlt, beliebig klein sein
Und damit muss die unendliche
Summe letztlich 1 sein
Die Summe mit den q's ist
Also kleiner als das
Doch, weil die Summanden positiv sind
Noch größer als 0, oder was?
Aber auf der linken Seite
Stehen nur ganze Zahlen
Doch weil wir zwischen 0 und
1 davon keine haben kann, ganz egal
Mit welchem p und q wir das probieren
Die Gleichheit an dieser
Stelle nicht funktionieren
Die Annahme, e wäre p q ist also nicht OK
Und damit ist die Eulersche
Zahl irrational qed
Unendlich viele Nachkommastellen hat
Die Eulersche Zahl und, weil sich nichts
Immer wieder wiederholt, ist sie irrational
Einen Beweis dafür hab ich
Natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca 2
718281828459045235360287471352662 ungefähr