DorFuchs - Vektoren songtext (lyrics)
[DorFuchs - Vektoren songtext lyrics]
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Es gibt unendlich viele Vektorräume
Das nur nebenbei
Denn in diesem Song geht es um den ℝ hoch 3
Das heißt bei jedem Vektor sind
In diesem Falle genau drei
Reelle Zahlen als Bestandteile dabei
In einem 3-dimensionalen
Kartesischen Koordinatensystem
Kannst du ’nen Vektor als sowas
Wie 'nen Pfeil ansehen
Bei dem sind Ausbreitungen in x-
Y- und z-Richtung dabei
Genausoviele wie Zahlen in unserem Vektor
Nähmlich 3 na das passt ja, ist ja schön
Also fangen wir mal an
Zu gucken was man damit jetzt
So alles machen kann
Bei der Addition zweier Vektoren gest
Du den ersten Pfeil entlang
Von dort setzt du den zweiten an
Und hast die Summe erkannt
Das Vielfache eines Vektors ist
Dann gestaucht oder gestreckt
Und bei 'ner negativen Zahl wird
Noch ’ne Spiegelung vollstreckt
Bei der Subtraktion wird einfach
Das minus-eins-fache addiert
Also der Vektor den man
Abzieht einfach andersrum platziert
Durch Verschieben von dem Pfeil ändert
Sich der Verktor nicht
Doch dadurch hat man auf die
Dinge manchmal eine neue Sicht
So ist die Differenz ein Vektor
Hier von B nach A
Und substrahierst du zwei Ortsvektoren
Wird dir klar um auf den Vektor vom einen
Punkt zum anderen zu kommen
Rechnest du anscheinened immer
Hinten minus vorn
Addierst du Vielfache von Vektoren
Nennt man diese Aktion
Allgeimein weil man's oft
Braucht Linearkombination
Das Ergebnis ist ein Vektor
Und besonders interessant
Ist wenn der 0-Vektor rauskommt man
Hat zwar schnell erkannt
Dass wenn man immer nur mit
Null mutipliziert und dann addiert
Das diese Lösung anscheinend
Immer funktioniert
Doch gibt es mit diesen Vektoren keine
Andre Lösung weit und breit
Dann Spricht man hier
Von linearer Unabhängigkeit
Für zwei Vektoren heißt das
Dass sie nicht in die gleiche Richtung gehn
Bei drei Vektoren
Dass sie nicht in der gleichen Ebene stehn
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Soll ich dir mal den
Betrag eines Vektors verraten?
Das ist die Wurzel aus
Der Summe, der Quadrate, der Koordinaten
Womit man sozusagen auf die
Länge des Vektors guckt
Und dar das jetzt bekannt ist
Geht's gleich weiter mit'm Skalarprodukt
Skalare sind im ℝ hoch
3einfach nur reelle Zahlen
Und eine von denen werden wir
Hier als Ergebnis haben
Vektor a mal Vektor b ist
Vergiss das bitte nie
Betrag von a mal Betrag von b
Mal der cosinus von φ
Und φ ist der Schnittwinkel der
Vektoren a und b
Also falls du den mal brauchst
Stellst du das einfach um, oK
Wenn du jeweils die
Gleichen Koordinaten multiplizierst
Kommst du auf das Skalarprodukt wenn
Du das alles noch addierst
Zwei Vektoren sind zueinander
Immer dann orthogonal
Wenn ihr Skalarprodukt null ist das
Ist ja auch normal
Denn dann schneiden die sich doch
Im rechten Winkel und naja
Der Cosinus zu 90 Grad ist null, na klar
Zu jedem Punkt gibts ja den Ortsvektor
Und drei Mal darfst du raten
Ortsvektor und Punkt haben
Die gleichen Koordinaten das ist praktisch
Denn wenn man einen Vektor berechnen kann
Hat man 'nen Punkt beziehungweise
Dessen Ortsvektor dann
Nimmst du 'nen Vektor und
Vielfach's eines anderen dazu
Kommst du auf ne ganze Menge von
Punkten und schon hast du
Eine Gleichung für eine Grade im Raum
Und wenn wir uns da
Mal kurz dieVektoren anschau’n
Stützt die eine die Grade und der
Andre gibt die Richtung an
Und das ist ein Prinzip mit
Dem man Ebenen angeben kann
Da ist dann noch ein
Zweiter Richtungsvektor dabei
Aber bei Ebenen geht es
Übrigens auch parameterfrei
Für jede der Koordinaten kannst
Du ’ne gleichung aufschreiben
Und dann die Parameter eliminieren
Und es bleiben
Nur noch x, y und z in einer Gleichung stehen
Und damit kannst du dann die
Ebene in der Koordinatenform sehen
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Für Ebenen gibt’s übrigens noch eine Variante
Die Normalenform
Denn bei Ebenen ist das Interessante
Dass es mit einem Vektor
Der senkrecht auf der Ebene steht
Und einem der das Ganze stützt
Auch schon wieder geht
Und Ortsvektor minus Stützvektor
Ist immer orthogonal
Zum Normalenvektor also ist bei
Der Ebene jedes mal
Dieses Skalarprodukt hier 0 und
Diese Gleichung reicht aus
Und ist der Betrag des Normalenvektors eins
Kommt die hessische Normalenform raus
Neben dem Skalarprodukt gibt's übrigens
Hör zu
Noch das Kreuzprodukt bei den Vektoren
Und da rechnest du
Erst das mal das minus das mal
Das und das mal das minus
Das mal das und das mal das
Minus das mal das, Kreuzprodukt
Ey voll krass
Und das Ergebnis ist ein Vektor und der ist
Orthogonal zu den beiden und
Der Betrag davon ist
So groß wie die Fläche von dem Parrallelogram
Was die Vektoren aufspannen
Sodass ich damit Flächen berechnen kann
So ist das Dreieck die
Hälfte von dem Parrallelogram
Sodass ich ein halb mal Betrag von
A kreuz b nehmen kann
Und auch der Vektor ist
Beim Kreuzprodukt sehr interessant
Denn durch die beiden rechten Winkel
Hast du vielleicht schon erkannt
Wenn du 'ne Ebene in
Parameterform vor dir hast
Und dann das Kreuzprodukt von
Den beiden Richtungsvektoren machst
Hast du den Normalenvektor und zusamm'n mit
Dem der die Ebene stützt
Kannst du die Normalenform angebenfalls dir
Das mal was nützt
Oftmals brauch man aber die Koordinatenform
Doch kein Problem die Koeffizienten sind
Immer die Koordinaten der Normalenvektoren
Das heißt du nimmst aus
Dem Normalenvektor die Zahlen
Und schreibst sie vor das x
Das y und vor das z
Und nimmst den Stützvektoren
Und setzt ihn in die Gleichung einfach
Ein und damit hast du dann
Den letzten Parameter noch gefunden
Also kannst du dann
Die Ebene in der Koordinatenform angeben
Bleibt nur noch die frage:
Was bringt einem das im Leben? - Ach, egal!
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz’ die Ohren!
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Es gibt unendlich viele Vektorräume
Das nur nebenbei
Denn in diesem Song geht es um den ℝ hoch 3
Das heißt bei jedem Vektor sind
In diesem Falle genau drei
Reelle Zahlen als Bestandteile dabei
In einem 3-dimensionalen
Kartesischen Koordinatensystem
Kannst du ’nen Vektor als sowas
Wie 'nen Pfeil ansehen
Bei dem sind Ausbreitungen in x-
Y- und z-Richtung dabei
Genausoviele wie Zahlen in unserem Vektor
Nähmlich 3 na das passt ja, ist ja schön
Also fangen wir mal an
Zu gucken was man damit jetzt
So alles machen kann
Bei der Addition zweier Vektoren gest
Du den ersten Pfeil entlang
Von dort setzt du den zweiten an
Und hast die Summe erkannt
Das Vielfache eines Vektors ist
Dann gestaucht oder gestreckt
Und bei 'ner negativen Zahl wird
Noch ’ne Spiegelung vollstreckt
Bei der Subtraktion wird einfach
Das minus-eins-fache addiert
Also der Vektor den man
Abzieht einfach andersrum platziert
Durch Verschieben von dem Pfeil ändert
Sich der Verktor nicht
Doch dadurch hat man auf die
Dinge manchmal eine neue Sicht
So ist die Differenz ein Vektor
Hier von B nach A
Und substrahierst du zwei Ortsvektoren
Wird dir klar um auf den Vektor vom einen
Punkt zum anderen zu kommen
Rechnest du anscheinened immer
Hinten minus vorn
Addierst du Vielfache von Vektoren
Nennt man diese Aktion
Allgeimein weil man's oft
Braucht Linearkombination
Das Ergebnis ist ein Vektor
Und besonders interessant
Ist wenn der 0-Vektor rauskommt man
Hat zwar schnell erkannt
Dass wenn man immer nur mit
Null mutipliziert und dann addiert
Das diese Lösung anscheinend
Immer funktioniert
Doch gibt es mit diesen Vektoren keine
Andre Lösung weit und breit
Dann Spricht man hier
Von linearer Unabhängigkeit
Für zwei Vektoren heißt das
Dass sie nicht in die gleiche Richtung gehn
Bei drei Vektoren
Dass sie nicht in der gleichen Ebene stehn
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Soll ich dir mal den
Betrag eines Vektors verraten?
Das ist die Wurzel aus
Der Summe, der Quadrate, der Koordinaten
Womit man sozusagen auf die
Länge des Vektors guckt
Und dar das jetzt bekannt ist
Geht's gleich weiter mit'm Skalarprodukt
Skalare sind im ℝ hoch
3einfach nur reelle Zahlen
Und eine von denen werden wir
Hier als Ergebnis haben
Vektor a mal Vektor b ist
Vergiss das bitte nie
Betrag von a mal Betrag von b
Mal der cosinus von φ
Und φ ist der Schnittwinkel der
Vektoren a und b
Also falls du den mal brauchst
Stellst du das einfach um, oK
Wenn du jeweils die
Gleichen Koordinaten multiplizierst
Kommst du auf das Skalarprodukt wenn
Du das alles noch addierst
Zwei Vektoren sind zueinander
Immer dann orthogonal
Wenn ihr Skalarprodukt null ist das
Ist ja auch normal
Denn dann schneiden die sich doch
Im rechten Winkel und naja
Der Cosinus zu 90 Grad ist null, na klar
Zu jedem Punkt gibts ja den Ortsvektor
Und drei Mal darfst du raten
Ortsvektor und Punkt haben
Die gleichen Koordinaten das ist praktisch
Denn wenn man einen Vektor berechnen kann
Hat man 'nen Punkt beziehungweise
Dessen Ortsvektor dann
Nimmst du 'nen Vektor und
Vielfach's eines anderen dazu
Kommst du auf ne ganze Menge von
Punkten und schon hast du
Eine Gleichung für eine Grade im Raum
Und wenn wir uns da
Mal kurz dieVektoren anschau’n
Stützt die eine die Grade und der
Andre gibt die Richtung an
Und das ist ein Prinzip mit
Dem man Ebenen angeben kann
Da ist dann noch ein
Zweiter Richtungsvektor dabei
Aber bei Ebenen geht es
Übrigens auch parameterfrei
Für jede der Koordinaten kannst
Du ’ne gleichung aufschreiben
Und dann die Parameter eliminieren
Und es bleiben
Nur noch x, y und z in einer Gleichung stehen
Und damit kannst du dann die
Ebene in der Koordinatenform sehen
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz' die Ohren!
Für Ebenen gibt’s übrigens noch eine Variante
Die Normalenform
Denn bei Ebenen ist das Interessante
Dass es mit einem Vektor
Der senkrecht auf der Ebene steht
Und einem der das Ganze stützt
Auch schon wieder geht
Und Ortsvektor minus Stützvektor
Ist immer orthogonal
Zum Normalenvektor also ist bei
Der Ebene jedes mal
Dieses Skalarprodukt hier 0 und
Diese Gleichung reicht aus
Und ist der Betrag des Normalenvektors eins
Kommt die hessische Normalenform raus
Neben dem Skalarprodukt gibt's übrigens
Hör zu
Noch das Kreuzprodukt bei den Vektoren
Und da rechnest du
Erst das mal das minus das mal
Das und das mal das minus
Das mal das und das mal das
Minus das mal das, Kreuzprodukt
Ey voll krass
Und das Ergebnis ist ein Vektor und der ist
Orthogonal zu den beiden und
Der Betrag davon ist
So groß wie die Fläche von dem Parrallelogram
Was die Vektoren aufspannen
Sodass ich damit Flächen berechnen kann
So ist das Dreieck die
Hälfte von dem Parrallelogram
Sodass ich ein halb mal Betrag von
A kreuz b nehmen kann
Und auch der Vektor ist
Beim Kreuzprodukt sehr interessant
Denn durch die beiden rechten Winkel
Hast du vielleicht schon erkannt
Wenn du 'ne Ebene in
Parameterform vor dir hast
Und dann das Kreuzprodukt von
Den beiden Richtungsvektoren machst
Hast du den Normalenvektor und zusamm'n mit
Dem der die Ebene stützt
Kannst du die Normalenform angebenfalls dir
Das mal was nützt
Oftmals brauch man aber die Koordinatenform
Doch kein Problem die Koeffizienten sind
Immer die Koordinaten der Normalenvektoren
Das heißt du nimmst aus
Dem Normalenvektor die Zahlen
Und schreibst sie vor das x
Das y und vor das z
Und nimmst den Stützvektoren
Und setzt ihn in die Gleichung einfach
Ein und damit hast du dann
Den letzten Parameter noch gefunden
Also kannst du dann
Die Ebene in der Koordinatenform angeben
Bleibt nur noch die frage:
Was bringt einem das im Leben? - Ach, egal!
Das mit den Vektoren
Können nicht nur Professoren
Das kann jeder Mensch
Denn er ist im ℝ hoch 3 geboren
Doch bei den Vektoren
Betrachtet man vielerlei Faktoren
Hast du die Übersicht verloren?
Dann hör gut zu und spitz’ die Ohren!